Computerarithmetik und Rechenverfahren

Matlab

1. Darstellung von Zahlen

1. Stellenwertsystem
   • Stellenwertsystem
   • Modulo
   • Restklassenring Z 2N Z
   • Division mit Rest für ganze Zahlen
   • Zweierkomplement
   • Big Endian
   • Little Endian
   1. Ganze nichtnegative Zahlen
   2. Negative Zahlen
   3. Ablage im Speicher
   4. Operationen auf ganzen Zahlen
2. Reelle Zahlen
   1. Darstellung
      • Maschinenzahlen
      • IEEE 754 Floating Point
   2. Rundung
   3. Fehlerabschätzungen beim Runden
   4. Algorithmus: Bestimmung der Maschinengenauigkeit bei kaufmännischer Rundung
   5. Implementierung: IEEE 754-Format
   6. Tools im Internet zur Umwandlung in IEEE-Format
   7. Elementaroperationen
   8. Praktische Kosequenzen

2. Eigenschaften von Aufgaben, Verfahren und Algorithmen

1. Fehlerbegriffe
   • Absoluter Fehler
   • Relativer Fehler
2. Kondition
   1. Herleitung absolute Kondition
      • Absolute Kondition
      • Relative Kondition
   2. Erinnerung für den Mehrdimensionalen Fall
3. Matrixnorm und -kondition
   1. Motivation: Berechnung eines Widerstandsnetzes
   2. Definition
      • Matrixnorm
      • Spaltensummennorm
      • Zeilensummennorm
   3. Kontition einer Matrix
      • Kondition einer Matrix
      • Diagonalmatrix
4. (Landau-Notation)
5. (Stabilität)

3. Lineare Gleichungssysteme

1. Direkte Verfahren
   • Matrix-Vektor-Multiplikation
   • Gaußsches Eliminationsverfahren
   • Inverse Matrix
   • Dreiecksmatrix
   • LR-Zerlegung
2. Lösung von Dreieckssystemen
3. Matrixoperationen zur Formulierung des Gauß-Algorithmus
4. Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung
   • Permutationsmatrix
   1. Stabilität
5. (Cholesky-Zerlegung)
6. (QR-Zerlegung)
   1. Givens-Rotationen
   2. Householder-Transformationen
   3. Gleichungssysteme lösen mit QR-Algorithmus
7. (Stabilität von Algorithmen)
8. (Indirekte / iterative Verfahren)

4. Lineare Ausgleichsrechnung

• Ausgleichsrechnung

1. Beispiele
   • Lineare Regression
   • Quadratische Regression
2. Definition der kleinste Quadrate-Lösung
   • Methode der kleinsten Quadrate
3. Charakterisierung der Lösung
   • Normalengleichung
4. (Numerische Lösung)
5. Nichtlineare Ausgleichsrechnung
   1. Transformation auf lineare Modelle
   2. (Nichtlineare Modelle)
      • Parameteridentifikation
6. (Gauß-Newton-Verfahren)

5. Interpolation

1. Aufgabenstellung
   • Interpolation
2. Polynominterpolation
   • Polynominterpolation
   • Vandermonde-Matrix
   1. Interpolationspolynom in Lagrange-Form
      • Lagrange-Interpolation
   2. Interpolationspolynom in Newton-Form
      • Newton-Interpolation
   3. Vergleich: Basispolynome
   4. Fehlerabschätzung
   5. Algorithmus von Attken-Neville
   6. Nachteile der Polynominterpolation

6. Splines

• Spline

1. Kubische Splines
   1. Herleitung des Gleichungssystems für kubische Spline-Interpolation
2. Veranschaulichung
3. (B-Splines)
4. Bezier-Funktionen

7. (Nichtlineare Gleichungen)

1. Bisektion
2. Fixpunktiteration
3. Newton-Verfahren und Varianten
   • Jacobi-Matrix
   • Hesse-Matrix
   1. Newton-Verfahren, skalarer Fall
   2. Newton-Verfahren, mehrdimensionaler Fall
   3. Sekanten-Verfahren, skalarer Fall
   4. Interpretation als Fixpunktverfahren
   5. Schrittweitensteuerung

8. (Nichtlineare Optimierung)

4. Begriffe
5. Gradientenverfahren

9. (Numerische Differentiation und Integration)

6. Differentation
   1. Differenzquotienten über Taylor-Entwicklung
   2. Differenzquotienten über Interpolations-Polynome
   3. Einfluss verschiedener Fehlerquellen
7. Quadraturverfahren: Polynomquadratur
   1. Newton-Cotes-Regeln
   2. Zusammengesetzte Quadratur-Regeln
8. Mehrdimensionale Integrale - Komplexität

Wiederholung

Siehe auch

Kleines Cheatsheet

9. Grundlagen
   1. Trigonometrie
   2. Ableitungsregeln
10. Mehrdimensionale Differentation
11. Matrizen
12. Erinnerung: Schule und MA2
    1. Potenzregeln
    2. Potenzen und Logarithmus

Stoff

• Zahlendarstellung: Ganze Zahlen
• Restklassenringe
• Zahlendarstellung: Fließkommazahlen
• Partielle Ableitungne
• Abschätzungen für Rundungsverfahren
• Programmieren mit MATLAB Funktionen
• Kahan-Algorithmus
• Kondition 1-Dimensional
• Normen für Vektoren
• Kondition n-Dimensional
• Normen für Matrizen
• Determinante, Inverse und Lineare Abbildungen
• Lineare Gleichungssysteme
• Lineare Gleichungssysteme lösen mit LR-Zerlegung und anderen Verfahren
• Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung
• Lineare und nichtlineare Ausgleichsrechnung
• Lineare Ausgleichsrechnung: Lösbarkeit und Identifizierbarkeit
• Nichtlineare Regression
• Nichtlineare Ausgleichsrechnung
• Interpolation
• Kubische Splines
• Splines 2D
• Nichtlineare Gleichungen
• Nichtlineare Optimierung