Notizen

Modulo

tagsmathematik

Einfach gesagt

Die Operation Modulo berechnet den Rest einer ganzzahligen Division durch .

Alle Zahlen, die bei Division durch den gleichen Rest ergeben, werden einer Menge, ihrer Restklasse, zugeordnet. Dabei gibt es genau mögliche Reste und damit auch Restklassen. Die Menge der Reste wird formal auch wie folgt notiert:

Für gegebenes stellt die Menge der Äquivalenzklassen

bezüglich der Äquivalenzrelation (diese nennt man auch Kongruenzrelation modulo n)

auf mit den beiden nachfolgenden Operationen Addition und Multiplikation

Misplaced & + : \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \\ (\overline{x}, \overline{y}) & \longmapsto \overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y} \\ \\ \cdot : \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} \\ (\overline{x}, \overline{y}) & \longmapsto \overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x \cdot y} \end{align}$$ einen kommutativen [[Ring]] dar, den sog. **Restklassenring modulo** n. ## Notation Statt $\overline{x}$ schreibt man auch $x \text{ mod } n$ oder oft kurz $x$, statt $\overline{x} = \overline{y}$ auch $x \equiv y \text{ mod } n$ (in Worten: $x$ **kongruent zu $y$ modulo $n$**) oder einfach nur kurz $x = y$. > [!link] Siehe auch > > - [[Invertierbare Elemente in modulo]] > - [[Verknüpfungstafeln Modulo]]

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