Inverse Matrix

Für eine quadratische Matrix ist ihre inverse Matrix eine Matrix, die multipliziert mit der ursprünglichen Matrix die Einheitsmatrix ergibt.

Bedingungen

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante ist.

Satz

Für eine Matrix sind äquivalent:

1. Die Matrix ist invertierbar.
2. Die Spalten von bilden eine Basis des .
3. Die Spalten von sind linear unabhängig.
4. Die Spalten von spannen den auf.
5. Der Rang der Matrix ist .
6. Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix ist die Einheitsmatrix .

Berechnung

Im Fall der Invertierbarkeit ergibt sich die Inverse durch überführen der erweiterten Koeffizientenmatrix in reduzierte Zeilenstufenform gemäß dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Es gilt dann .

Ergibt die Umformung in reduzierte Zeilenstufenform auf der linken Seite keine Einheitsmatrix , dann ist auch nicht invertierbar.

Spezialfälle

• Diagonalmatrix > Inverse
• Frobenius-Matrix > Inverse

Beispiel

Gegeben sei eine Matrix mit

Wir möchten die Inverse Matrix berechnen:

Sonstiges

Korollar: -Matrix

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn für die reelle Zahl gilt. In diesem Fall ist die inverse Matrix

Beispiel: Matrix mit linear abhängigen Spaltenvektoren

Beispiel: Matrix mit linear unabhängigen Spaltenvektoren