Notizen

Newton-Interpolation

tagsmathematik, numerik

Das Interpolationsverfahren nach Newton ist ein Lösungsverfahren zur Polynominterpolation. Dabei geht man wie folgt vor:

Seien die Punkte gegeben, dann berechnet sich das Ergebnis durch Aufsummierung von Koeffizienten multipliziert mit den Newton-Basispolynomen :

Basispolynome

Die Newton-Basispolynome berechnen sich wie folgt:

Ausmultipliziert ergibt sich:

Misplaced &\omega_{0,n}(x) & = 1 \\ \omega_{1,n}(x) & = (x-x_0) \\ \omega_{2,n}(x) & = (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & \vdots \\ \omega_{n,n}(x) & = (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot \dots \cdot (x-x_{n-1}) \\ \end{align}$$ ## Koeffizienten Die Koeffizienten $c_k$ heißen auch **dividierte Differenzen**. Das Verfahren zur Berechnung lässt sich an folgendem Beispiel beschreiben: ![[dividierte-differenzen.jpg]] - $x_k$ und $y_k$, also die ersten beiden Spalten sind die gegebenen Punkte - Die Differenz zweier benachbarter $y$-Werte wird dividiert durch die Differenz der zugehörigen $x$-Werte - Rekursiv wird fortgefahren, dabei werden statt der $y$-Werte die Zwischenergebnisse verwendet. Die $x$-Werte bleiben die "äußersten" Werte vom Anfang - Die Koeffizienten $c_0, \dots, c_3$ lassen sich anhand der jeweils entstehenden Ergebnisse ablesen > [!tip] Anschaulich > > https://www.youtube.com/watch?v=p0W0JB6NXm8 > [!link] Siehe auch > > [[Lagrange-Interpolation]]

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