Verfahren zum Lösen einer Matrixgleichung

Vorgehensweise zur Bestimmung der Lösungsmenge der Matrixgleichung mit für und :

1. Überführen der Erweiterte Koeffizientenmatrix in (reduzierte) Zeilenstufenform

2. Lösbarkeit ablesen: Genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt. Ansonsten Algorithmus beenden mit .

3. Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems , wobei die linear unabhängigen Vektoren wie folgt gewählt werden:

   1. Freie Variablen jeweils genau eine auf , restlichen auf setzen
   2. Gebundene Variablen aus der Zeilenstufenform zu des homogenen Systems (ohne Verwendung des Vektors ) bestimmen.

   Für ergibt sich insbesondere die triviale Lösungsmenge

4. Spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems :

   1. Freie Variablen alle auf setzen.
   2. Gebundene Variablen aus der Zeilenstufenform zu des inhomogenen Systems (unter Verwendung des Vektors ) bestimmen.

5. Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems als Ergebnis des Algorithmus im Falle der Lösbarkeit: .

   Für ergibt sich insbesondere die einelementige Lösungsmenge

Im homogenen Fall lösst sich der selbe Algorithmus durchführen, es vereinfachen sich hierbei einige Schritte:

1. Es genügt, die Koeffizientenmatrix in (reduzierte) Zeilenstufenform zu überführen.
2. Es gilt stets die Lösbarkeit. (Dieser Punkt kann somit übersprungen werden.)
3. Bei der Berechnung von vereinfacht sich nichts.
4. Eine spezielle Lösung von ist hier nicht nötig (bzw. es kann stets der triviale Lösungsvektor gewählt werden). (Dieser Punkt kann somit übersprungen werden.)
5. Die Lösungsmenge ist . Für ergibt sich insbesondere die einelementige Lösungsmenge .

Einfach gesagt

1. In reduzierte Zeilenstufenform bringen ( Lösbarkeit ablesen)
2. Lösungsmenge: Linear unabhängige Vektoren besitzen bei spalten mit freier Variable eine 0 (außer eine 1 an einer Stelle).
   • Andere Werte jeweils auffüllen mit genau dem negativen der Spalte mit freier Variable.
3. Bei erweiterter Koeffizientenmatrix hat Nullstellen bei Spalten mit freien Variablen.
   • Rest wird aufgefüllt aus der Zeilenstufenform mit Werten von

Beispiel

Beispiel