Lösung eines linearen Gleichungssystems

Ein Tupel des -fachen kartesischen Produkts heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn dieses nach Einsetzen der Werte erfüllt ist.

Liegt die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems mit Gleichungen und unbekannten in Zeilenstufenform mit Koeffizienten und für und vor, so ergibt sich die Lösbarkeit wie folgt:

• Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.
• Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn darüber hinaus der Rang mit der Anzahl der Variablen übereinstimmt, d.h. alle Stufen in der (nicht erweiterten) Koeffizientenmatrix eine Länge besitzen.

Im Fall der Lösbarkeit ergibt sich die Lösungsmenge wie folgt:

• Die Nichtstufen der Koeffizientenmatrix bilden die freien Variablen . Diese können beliebige Werte aus annehmen.
• Die Stufen der Koeffizientenmatrix bilden die gebundenen Variablen . Tritt die zur gebundenen Variablen zugehörende Stufe in der -ten Zeile auf, so ergibt sich durch Auflösen der zugehörigen Gleichung im Falle einer beliebigen Zeilenstufenform bzw. einer reduzierten Zeilenstufenform

Im Fall einer belieben Zeilenstufenform können in der Summe neben freien Variablen und der Stufenvariablen auch weitere gebundene Variablen zu Indizes enthalten sein, so dass diese Gleichungen sukzessiv von unten nach oben aufgelöst und bereits berechnete gebundene Variablen eingesetzt werden müssen. Im Fall einer reduzierten Zeilenstufenform vereinfach sich der Vorfaktor und es treten in der Summe nur Indizes freier Variablen auf.