Erwartungswert

Sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und eine Zufallsvariable mit Wertebereich . Wenn zudem gilt:

Dann nennt man die folgende Größe

den Erwartungswert von .

Einfach gesagt

Der Erwartungswert berechnet sich aus der Summe von allen Zufallsvariablen, die jeweils noch mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden.

Beispiel Würfel

Sei die Augenzahl nach dem Wurf eines gleichmäßigen 6-seitigen Würfels. Dann ist der Erwartungswert:

Würfelt man also oft genug, so nähert sich die mittlere Augenzahl dem Erwartungswert an.

Eigenschaften

, seien Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum und existenten Erwartungswerten und sei eine Konstante, dann gilt:

• Additivität
• Homogenität
• Monotonie
• , unabhängig

Beispiel Reißzwecke

Wir werfen 100 mal eine Reißzwecke, welche mit Wahrscheinlichkeit mit der Spitze nach oben fällt. bezeichne die Anzahl der Würfe bei denen die Spitze nach oben zeigt. Wie groß ist der Erwartungswert von ?

Definieren einer Helfer-Zufallsvariable:

Definieren von Z:

Berechnen des Erwartungswertes:

Additivität:

sind identisch verteilt, also kann man auch über summieren:

Erwartungswert der Funktion einer Zufallsvariable

Sei eine Zufallsvariable mit einem endlichen oder abzählbar unendlichen Wertebereich und eine Funktion. Wenn

dann ergibt sich der Erwartungswert der Zufallsvariablen durch: