Kovarianz

Gegeben seien zwei Zufallsvariablen und auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (). Dann nennt man die Größe

die Kovarianz von , .

Ist , so nennt man und unkorreliert.

• Wenn die Kovarianz zweier Zufallsvariablen positiv ist, dann heißt das, dass wenn die eine wächst, die andere das tendenziell auch tut.
• Wenn die Kovarianz negativ ist, dann heißt das, dass wenn die eine wächst, die andere tendenziell fällt und umgekehrt.

Eigenschaften

• Spezialfall:
• Symmetrie:
• Additiv:
  
• Homogen:
  
• unabhängig unkorreliert

Beispiel

Es seien folgende Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten gegeben:

Y \ X	-3	0	6
1	1/12	1/6	1/12
**2 **	0	1/3	0
6	1/12	1/12	1/6

Was ist die Kovarianz aus und ?

Lösung

Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zufallsvariablen ergeben sich aus den Randverteilungen:

Y \ X	-3	0	6
1	1/12	1/6	1/12	1/3
**2 **	0	1/3	0	1/3
6	1/12	1/12	1/6	1/3
	1/6	7/12	1/4	1

Der Erwartungswert von und berechnet sich wie folgt:

Der Erwartungswert aus dem Produkt von und berechnet sich wie folgt: