Varianz, Standardabweichung

Sei eine Zufallsvariable, für die existiert, dann ist die Varianz von definiert durch:

Und die Standardabweichung ist

Beispiel: 4-Facher Münzwurf

Wir betrachten ein Glücksspiel basierend auf einem 4-fachen Münzwurf. Man bekomme € ausbezahlt, wenn die Anzahl der geworfenen “Zahlen” ist. Wie groß sind Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?
$Misplaced &Var(X) &= E((X - E(X))^2) \\ &= \sum_x P[X = x] \cdot (x - E(X))^2 \\ &= P[X=0] \cdot (0-2)^2 + P[X=1] \cdot (1-2)^2 + \dots + P[X=4] \cdot (4-2)^2 \\ &= \frac{1}{16} \cdot 4 + \frac{4}{16} \cdot 1 + \frac{6}{16} \cdot 0 + \frac{4}{16} \cdot 1 + \frac{1}{16} \cdot 4 \\ &= \frac{4+4+0+4+4}{16} = \frac{16}{16} = 1\\ \\ \sigma(X) &= \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1} = 1 \end{align}$$$

Eigenschaften

Zweite zentrale Momente:
Additivität:
Homogenität:
Nichtnegativ:
Null bei Konstanten:

tags	mathematik, statistik
aliases	Varianz, Standardabweichung

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