Quaternionen

Quaternionen sind eine Erweiterung ähnlich der komplexen Zahlen, allerdings mit drei Imaginären Komponenten bzw. Dimensionen. Dadurch wird eine Rotation im 3D-Raum möglich. Mit Quaternionen lässt sich eleganter rechnen als mit Eulerschen Winkeln (s. Gimbal Lock), deshalb werden sie oft in der 3D-Modellierung und Spielentwicklung verwendet.

Hinleitung

In den komplexen Zahlen lässt sich ein Punkt im Winkel um den Ursprung rotieren, in dem man ihn mit einer Rotationszahl (ein Vektor in Polardarstellung mit Einheitslänge) multipliziert:

Quaternionen wenden dieses Prinzip im 3D-Raum an, dafür verwenden sie nicht wie die komplexen Zahlen eine Imaginärkomponente, sondern drei.

Definition

Ein Quaternion besteht aus einer Rotationsachse und einem Rotationswinkel .

Analog zu den komplexen Zahlen werden imaginäre Einheiten verwendet:

Konjugierte Quaternion

Das Konjutierte Quaternion ist wie folgt definiert:

Quaternionenmultiplikation

Die Multiplikation von zwei Quaternionen und ist wie folgt definiert:

Quaternionenmultiplikation ist Assoziativ.

Siehe auch

Kreuzprodukt

Einheitsquaternionen

Einheitsquaternionen haben die Länge 1. Sie können verwendet werden, um Rotationen um einen Winkel um eine beliebige Achse (mit ) zu beschreiben:

Rotation durchführen

Um einen Punkt zu rotieren, erweitern wir zunächst um eine Dimension:

Anschließend multiplizieren wir mit dem Einheitsquaternion und dem Konjugierten Quaternion:

Beispiel

Gegeben ist der Punkt . Wir wollen ihn nun um die Achse mit dem Winkel rotieren.

Dafür Erstellen wir uns die Zwischenwerte:

Jetzt können wir rotieren:

Quaternionenmultiplikation ist Assoziativ, daher können wir ein Zwischenergebnis einführen:

Mit eingesetzt kommen wir jetzt auf unser Endergebnis:

Die hintere Teil ist wieder 1, heißt es hat geklappt: