Eine Zahlenmenge, in der Addition, Multiplikation und Division uneingeschränkt durchführbar ist, heißt kommutativer Körper. Eine Menge mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation, Misplaced & + : K \times K & \longrightarrow K \hspace{2cm} & \cdot : K \times K & \longrightarrow K \\ (x, y) & \longmapsto x + y & (x, y) & \longmapsto x \cdot y = xy \end{align}$$ heißt **Körper**, falls gilt: - **Assoziativität:** $\forall x, y, z \in K :$<br>$(x+y)+z = x+(y+z),$<br>$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ - **Neutrales Element (Null):** $\exists 0 \in K : \forall x \in K :$<br>$x+0=x=0+x$ - **Neutrales Element (Eins):** $\exists 1 \in K \backslash \{0\} : \forall x \in R :$<br>$x \cdot 1=x=1 \cdot x$ - **Inverse Elemente (Negative):** $\forall x \in R : \exists -x \in K :$<br>$x + (-x) = 0 = (-x) + x$ - **Inverse Elemente (Inverse):** $\forall x \in K \backslash \{0\} : \exists x^{-1} \in K :$<br>$x \cdot x^{-1} = 1 = x^{-1} \cdot x$<br>(zusätzlich, fehlt bei [[Ring|Ringen]]) - **Kommutativität:** $\forall x, y \in K :$<br>$x+y=y+x, x \cdot y = y \cdot x$ - **Distributivität:** $\forall x, y, z \in K :$<br>$x \cdot (y+z) = (x \cdot y) + (x \cdot z),$<br>$(x+y) \cdot z = (x \cdot z) + (y \cdot z)$ Die Inversenbildung bezüglich der Multiplikation induziert (unter Einbeziehung des Kommutativgesetzes) eine **Division**: $$\begin{align} \frac{}{} : K \times K \backslash \{0\} & \longrightarrow K \\ (x, y) & \longmapsto \frac{x}{y} := x \cdot y^{-1} = y^{-1} \cdot x \end{align}$$ ^definition > [!link] Siehe auch > > [[Ring]] > [!definition] Satz: Nullteilerfreiheit > > > In einem Körper $K$ gilt für $x, y \in K$ stets die sog. **Nullteilerfreiheit** > > $$x \cdot y = 0 \Longrightarrow x = 0 \lor y = 0$$ ^nullteilerfreiheit > [!note] Korollar: Gesetze im Körper > > > Sei $(K, +, \cdot)$ ein kommutativer Körper und $a, b \in K$, dann gilt: > > 1. $-(-a) = a$ und $(a^{-1})^{-1} = a$ > 2. $a \cdot 0 = 0$ > 3. $ab = 0 \rightarrow a = 0 \lor b = 0$ (Nullteilerfreiheit) > 4. $a \cdot (-b) = -(ab)$, insbesondere $a \cdot (-1) = -a$ > 5. $(-a)(-b) = ab$ ^korollar > [!Example] Beispiele > > > - Die Menge der **rationalen Zahlen** > $$\mathbb{Q} := \{\frac{n}{m} | n \in \mathbb{Z}, m \in {N}\}$$ > bilden einen Körper. > Die rationalen Zahlen entsprechen den endlichen oder schließlich periodischen Dezimalzahlen > - Die Menge der **reellen Zahlen** (deren Definition nicht ganz einfach ist und deshalb hier ausgelassen wird) > $$\mathbb{R}$$ > bilden bezüglich der Addition und Multiplikation einen Körper. > Die reellen Zahlen entsprechen allen Dezimalzahlen (einschließlich der nichtperiodischen). > - Die Menge der **komplexen Zahlen** > $$\mathbb{C} := \{a+bi | a, b \in \mathbb{R}\}$$ mit der sog. **imaginären Einheit** $i$ > bildet einen Körper mit neutralen bzw. inversen Elementen.