Notizen

Normalverteilung

tagsstatistik

Man nennt normalverteilt mit Parameter und , kurz , wenn die folgende Dichte hat:

ü

Bemerkung

Bei Normalverteilungen ist Unkorreliertheit und Unabhängigkeit dasselbe.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion lässt sich schwierig berechnen, siehe dafür vorgefertigte Tabellen, z.B. aus dem Skript.

Kenngrößen

Summe von normalverteilten Zufallsvariablen

Seien normalverteilt und unabhängig, dann gilt:

Standardisierung der Normalverteilung, Z-Transformation

Sei normalverteilt, dann gilt:

Diese Standardisierungsformel nennt man auch -Transformation.

Beispiel

Man geht davon aus, dass der Intelligenzquotient in der Bevölkerung in etwa gemäß entspricht. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ von mindestens hat?

Lösung

Sei der IQ, dann ist . Gesucht ist dann:

Misplaced &P[X \geq 118] & = P\left[\underbrace{\frac{X - 100}{15}}_{Z} \geq \frac{118-100}{15}\right] \\ & = P\left[Z \geq \frac{18}{15}\right] \\ & = 1-p\left[Z < \frac{18}{15}\right] \\ & = 1 - \Phi(1, 2) \\ & = 1 - 0,8849 \\ & = 0,1151 \end{align}$$

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