Lognormal-Verteilung

Man nennt lognormalverteilt mit Parameter und , kurz , falls gilt:

Siehe auch

Normalverteilung

Bemerkung

Das heißt eine Zufallsvariable ist Lognormalverteilt, wenn ihr Logarithmus normalverteilt ist.

Dichte

Misplaced &\frac{1}{x \cdot \sqrt{2\pi\cdot\sigma^2}} \cdot \exp\left(-\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) & \text{für $x > 0$} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} $$ ## Verteilungsfunktion $$F(x) = \begin{cases} \Phi\left(\frac{\ln(x) - \mu}{\sigma}\right) & \text{für $x > 0$} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} $$ ## Kenngrößen $$E(X) = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)$$ $$\text{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)$$ $$x_{0.5} = e^\mu$$ ## Beispiel Eine kleine Feuerversicherung geht davon aus, dass ihr Schadenssumme pro Jahr gemäß $\mathcal{LN}(12, 1)$ verteilt ist. Wie hoch müssen die Rücklagen der Versicherung sein, um höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% (Jahrhundertereignis) Pleite zu gehen? Dabei sind $x_{0.5} = 163 000 \text{€}$ und $E(X) = 268 000 \text{€}$ gegeben. Gesucht ist also $x_{0.99}$. $$\begin{align} & P[X \leq x_{0.99}] = 0,99 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad P\left[\underbrace{\ln(X)}_{Y} \leq \ln(x_{0.99})\right] = 0.99 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad P\left[\underbrace{\frac{Y-12}{1}}_{Z} \leq \frac{\ln(x_{0.99})-12}{1}\right] = 0.99 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad \Phi\left(\frac{\ln(x_{0.99}) - 12}{1}\right) = 0.99 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad \frac{\ln(x_{0.99}) - 12}{1} = \Phi^{-1}(0.99) = 2,327 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad \ln(x_{0.99}) = 2,327 + 12 \\\\ & \Longleftrightarrow \quad x_{0.99} = e^{2,32712} = e^{14,327} = 1,67 \ \text{Millionen} \end{align}$$