Notizen

Laplace-Raum

tagsmathematik, statistik

Definition

Wenn in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum mit endlichem Grundraum alle Elementarereignisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, dann spricht man von einem Laplace-Raum.

In diesem Fall bezeichnet man auch als Laplace-Verteilung bzw. diskrete Gleichverteilung auf .

Wahrscheinlichkeiten im Laplace-Raum

In einem Laplace-Raum gilt für jedes Ereignis :

üö

Beispiele

Münzen

Vier faire Münzen werden gleichzeitig geworfen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Zahl und Kopf gleich liegen?

Misplaced &\Omega &= \left\{\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4) \in \{K, Z\}^4\right\} \\ &= \{K, Z\}^4 \\ &= \{(K, K, K, K), (K, K, K, Z), (K, K, Z, K), \dots, (Z, Z, Z, Z)\} \\ \\ |\Omega| &= 2^4 = 16 \\ \\ A &= \text{"Kopf und Zahl liegen gleich oft"} \\ &= \{\omega \in \Omega \ | \ \omega_i = \omega_j \neq \omega_k = \omega_l \ \text{mit} \ i,j,k,l \in \{1, 2, 3, 4\} \ \text{alle verschieden}\} \\ &= \{(K, K, Z, Z), (Z, Z, K, K), (K, Z, K, Z), (Z, K, Z, K), \dots\} \\ \\ |A| &= 6 = \binom{4}{2} \\ \\ P[A] &= \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{16} \end{align} $$ ### Joker Wir betrachten einen Kartenstapel mit $2n$ Karten, darunter zwei Joker. Wir bilden zwei gleich große Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich beide Joker im selben Stapel befinden? $A_{2n}$ = Ereignis beide Joker im selben Stapel $n=1$ $P_{2n}[A_{2n}] = 0$ $n >> 10$ Karte $J_1$ wird auf einen Stapel gelegt, Karte $J_2$ kann auf den selben oder den anderen Stapel gelegt werden $$\lim_{n \to \infty} P_{2n}[A_{2n}] = \frac{1}{2}$$

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