Eine Menge mir zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation, Misplaced & + : R \times R & \longrightarrow R \hspace{2cm} & \cdot : R \times R & \longrightarrow R \\ (x, y) & \longmapsto x + y & (x, y) & \longmapsto x \cdot y = xy \end{align}$$ heißt **kommutativer Ring**, falls gilt: - **Assoziativität:** $\forall x, y, z \in R :$<br>$(x+y)+z = x+(y+z),$<br>$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ - **Neutrales ELement (Null):** $\exists 0 \in R : \forall x \in R :$<br>$x+0=x=0+x$ - **Neutrales Element (Eins):** $\exists 1 \in R \backslash \{0\} : \forall x \in R :$<br>$x \cdot 1=x=1 \cdot x$ - **Inverse Elemente (Negative):** $\forall x \in R : \exists -x \in R :$<br>$x + (-x) = 0 = (-x) + x$ - **Kommutativität:** $\forall x, y \in R :$<br>$x+y=y+x, x \cdot y = y \cdot x$ - **Distributivität:** $\forall x, y, z \in R :$<br>$x \cdot (y+z) = (x \cdot y) + (x \cdot z),$<br>$(x+y) \cdot z = (x \cdot z) + (y \cdot z)$ Unter einem **nichtkommutativen Ring** versteht man einen Ring, in dem kein Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation gilt (bzgl. der Addition aber schon). Die Inversenbildung bezüglich der Addition induziert eine [[Subtraktion]] oder [[Subtraktion|Differenz]] $$\begin{align} - : R \times R & \longrightarrow R \\ (x, y) & \longmapsto x - y := x + (-y) \end{align}$$ > [!link] Siehe auch > > - [[Körper]] In einem Ring $R$ gilt für alle $x \in R$ $$x \cdot 0 = 0 = 0 \cdot x$$ ## Beispiele - Die Menge der **natürlichen Zahlen** $$\mathbb{N} := \{1, 2, 3, \dots\}$$ erfüllen alle Ringgesetze mit Ausnahme der Existenz der Null und der inversen Elemente - Die Menge der **natärlichen Zahlen einschließlich der Null** $$\mathbb{N}_0 := \{0, 1, 2, 3, \dots\}$$ erfüllen alle Ringgesetze mit Ausnahme der Existenz der inversen Elemente - Die Menge der **ganzen Zahlen** $$\mathbb{Z} := \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$ bilden einen kommutativen Ring