Notizen

Induktionsbeweis

tagsmathematik

Unter einem Induktionsbeweis einer Aussage für jede natürliche Zahl versteht man die Schreibweise

  • Der Nachweis der Aussage heißt Induktionsanfang
  • Der Nachweis der Implikationen für alle heißt Induktionsschritt mit Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptug

Beispiel: Einfacher Induktionsbeweis

Satz:

Beweis:

Induktionsanfang ()

Induktionsvoraussetzung

Induktionsbehauptung

Induktionsschritt ()

Beispiel: Induktionsbeweis mit Summenformel

Satz:

Beweis:

Induktionsanfang ()

Induktionsschritt ()

Beispiel: Induktionsbeweis bei Ungleichungen

Satz:

Beweis:

Induktionsanfang ()

Induktionsvoraussetzung

Induktionsbehauptung

Induktionsschritt ()

Vorgehensweise: Rechten Ausdruck “aufblähen” ändert nichts am Wahrheitswert der Gleichung. Beim Aufblähen versuchen, auf die Induktionsbehauptung zu kommen:

Misplaced && 2(n+1)+1 < 2^n + 2 \hspace{2cm} \\ & 2(n+1)+1 < 2^n \cdot 2 & \text{mit} \ 2^n+2 < 2^n \cdot 2 \\ \Longrightarrow & 2(n+1)+1 < 2^{n+1} \quad \square \end{array}$$

Beispiel: Komplexerer Induktionsbeweis mit Summenformel

Satz:

“Alle ungeraden Zahlen bis n zusammenaddiert ergeben das Quadrat aus n”

Beweis:

Induktionsanfang ()

Induktionsvoraussetzung

Induktionsbehauptung

Induktionsschritt ()

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