Notizen

Funktionen von Zufallsvariablen

tagsstatistik

Beispiel

X habe die Dichte 𝟙. Gesucht ist die Dichte von .

𝟙𝟙

habe die Dichte 𝟙. Gesucht ist die Dichte von

Variante 1

You can't use 'macro parameter character #' in math mode\tilde{X} = -X \quad \Longrightarrow \tilde{Y} = (\tilde{X})^2 = (-x)^2 = X^2 = Y \quad \Longrightarrow f_Y(t) = \mathbb{1}_{[0,1]}(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}$$ ### Variante 2

F_{\tilde{Y}}(t) = P(\tilde{Y} \leq t) = P(\tilde{X}^2 \leq t) = P(-\sqrt{t} \leq \tilde{X} \leq \sqrt{t}) = P(-\sqrt{t} \leq \tilde{X}) = 1 - P(\tilde{X} < - \sqrt{t}) \stackrel{\text{stetig}}{=} 1-P(\tilde{X} \leq -\sqrt{t}) = 1 - F_X(-\sqrt{t})

f_Y(t) = \frac{d}{dt} F_Y(t) = \frac{d}{dt} (1 - F_X(-\sqrt{t})) = f_X(-\sqrt{t}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{t}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{t}} \cdot 1_{[0,1]}(t)

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