Man nennt exponentialverteilt mit Parameter auf , kurz , wenn die folgende Dichte hat: Misplaced &\alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x} & \text{falls $x \geq 0$} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} $$ ## Verteilungsfunktion $$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{falls $x < 0$} \\ (1 - e^{-\alpha \cdot x}) & \text{falls $0 \leq x$} \end{cases} $$ ## Kenngrößen $$E(X) = \frac{1}{\alpha}$$ $$\text{Var}(X) = \frac{1}{\alpha^2} \qquad \Longrightarrow \qquad \sigma(x) = \frac{1}{\alpha}$$ $$x_{0.5} = \frac{\ln(x)}{\alpha}$$ ## Minimum exponentialverteilter Zufallsvariablen Seien $X_1, X_2, \dots, X_n$ unabhängige und [[Exponentialverteilung|exponentialverteilte]] Zufallsvariablen mit Parameter $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$, dann gilt $$Y := \min(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \text{Exp} \left(\sum_{k=1}^n \alpha_k \right)$$ ## Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Sei $X$ eine [[Exponentialverteilung|exponentialverteilte]] Zufallsvariable, dann gilt für alle $s, t > 0$: $$P[X > s+t \ | \ X > s] \quad = \quad P[X > t]$$