Notizen

Baryzentrische Koordinaten

tagscomputergrafik, mathematik

Die Baryzentrischen Koordinaten ermöglichen es, einen Punkt in Abhängigkeit eines Dreiecks mit Eckpunkten , , zu bestimmen. Dafür wird das Dreieck in drei Teildreiecke mit Flächeninhalt , , unterteilt, die jeweils 2 Punkte des ursprünglichen Dreiecks verwenden und zusätzlich den gesuchten Punkt .

Weiter definieren wir die Gewichte der Teildreiecke wie folgt: , , . Dann gilt:

  • Je näher an einem Dreieckspunkt liegt, desto höher ist das Gewicht des Teildreiecks.
  • Liegt innerhalb des Dreiecks, so gilt , ,
  • Allgemein gilt:

Siehe auch

Herleitung

Wir haben das Dreieck und den Punkt . Zunächst mal können wir den Punkt in Abhängigkeit der Vektoren und bestimmen. Ausmultipliziert ergeben sich die baryzentrischen Koordinaten.

Misplaced &p & \quad = \quad a + \beta \cdot (b-a) + \gamma \cdot (c-a) \\ \\ & \qquad \text {mit $\alpha + \beta + \gamma = 1$:} \\ \\ & \quad = \quad \alpha \cdot a + \beta \cdot b + \gamma \cdot c \end{align}$$ ![[Dreieck Punkt.svg]] ## Bestimmung Gegeben ist ein Dreieck $\Delta = (a, b, c)$ sowie ein Punkt $p$. Zur Bestimmung der Baryzentrischen Koordinaten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ kann wie folgt vorgegangen werden: 1. Bestimmen der Vektoren die das Dreieck aufspannen: $$u = b-a$$ $$v = c-a$$ 2. Bestimmung der [[Determinante]] $d$: $$d = u_x v_y - u_y v_x$$ > [!tip] Determinante > > Die Determinante bestimmt in diesem Fall den Flächeninhalt des [[Parallelogramm|Parallelogramms]] das von $u$ und $v$ aufgespannt wird. 3. Bestimmung der Koordinaten:

\begin{align} \beta & \quad=\quad \frac{1}{d} \left\langle \pmatrix{v_y \ -v_x} \ \middle| ; p-a \right\rangle \ \

\gamma & \quad=\quad \frac{1}{d} \left\langle \pmatrix{-u_y \ u_x} \ \middle| ; p-a \right\rangle \ \

a & \quad=\quad 1 - \beta - \gamma \end{align}

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